화장실 수전에서 물이 계속 새는데 이거부터 고쳐야 할까요?

안녕하세요. 이제 막 입주한 지 1년 정도 된 빌라에 살고 있는 직장인이에요. 얼마 전부터 화장실 세면대 수전 쪽에서 물이 한 방울씩 뚝뚝 떨어지더니 요즘은 아예 줄줄 흐르는 상태가 됐어요. 처음엔 그냥 고무패킹 문제인가 싶어서 대충 넘겼는데, 바닥 타일 쪽으로 물이 스며드는 것 같아서 걱정이 태산이네요. 어제 집을 좀 살펴보니까 수전 주변 타일 틈새로 습기가 올라오고 색이 변하는 게 보여서 너무 당황스러워요. 이걸 그대로 두고 일단 도배나 타일 보수부터 다시 깔끔하게 할지, 아니면 수전 자체를 아예 새 걸로 교체해서 원인부터 완벽히 잡고 공사를 해야 할지 고민입니다. 막상 수전을 뜯어냈다가 나중에 문제가 생기면 어쩌나 싶기도 하고 그렇다고 물이 새는 상태로 방치했다가 아래층에 피해라도 갈까 봐 잠도 안 오네요. 혹시 저처럼 이런 상황 겪어보신 분들 계실까요? 원인 해결부터 하는 게 맞는지 아니면 일단 눈에 보이는 것부터 손봐야 할지 조언 좀 부탁드려요.